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想起被數學支配的恐懼,就佩服古人的智慧

2019-08-15 16:19 人民網-文化頻道 莫穎琳

摘要:有些人以為勾股定理是外國數學家先研究發現的,但其實和十進制計數法一樣,我國是發現和研究勾股定理最早的國家。首創的“割圓術”與先進的圓周率研究

“五九卌五,四九卅六……”,日前在國家博物館開幕的秦簡文化展上,一片秦代的“九九表”木牘引起了大家的關注,古代的數學研究竟然如此超前。事實上,中國數學研究源遠流長,如今的十進位制計數法、勾股定理、圓周率等數學知識,早在千百年前就被古人們記錄和研究。今天,青年君就帶大家看看古人的數學成就,一起領略數千年前的中華智慧。

從原始社會萌芽的十進制算籌計數法

算籌計數法

十進,就是以十為基數,逢十進一位。十進制計數法在我國原始社會已開始萌芽,到奴隸社會初期的商代已發展成完整的十進制系統,并且有了“十”、“百”、“千”、“萬”等專用的大數名稱。

1899年,河南安陽發掘出大約3000多年前的殷代甲骨文,其中有一片甲骨上刻著“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”(八日辛亥那天的戰爭中消滅敵方2656人)。說明我國在公元前1600年,已經采用了十進制計數法,早于第二使用者印度1000多年。

十進制計數法,是我們祖先對人類文明的一項不可磨滅的貢獻。馬克思在《數學手稿》中稱十進制計數法為“最妙的發明之一”,英國著名科技史學家李約瑟博士評價說:“如果沒有這種十進制,就幾乎不可能出現我們現在這個統一化的世界了。”

最早發現研究勾股定理的國家

《勾股圓方圖說》注解圖

幾何學是數學中最古老且最基礎的分支之一。勾股定理則是幾何學中一顆光彩奪目的明珠,被稱作“幾何學的基石”。有些人以為勾股定理是外國數學家先研究發現的,但其實和十進制計數法一樣,我國是發現和研究勾股定理最早的國家。據《周髀算經》記載:“故折矩以為勾廣三,股修四,徑隅五。”由于《周髀算經》記錄的是公元前11世紀政治家周公與大夫商高的討論,所以它又被稱為商高定理。

三國時代的趙爽則在《周髀算經注》里對勾股定理做出了詳細注釋。將勾股定理表述為:“勾股各自乘,并之,為弦實。開方除之,即弦。”證明方法敘述為:“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實。”他撰成《勾股圓方圖說》,附錄于《周髀》首章的注文中,用形數結合的方法,給出了勾股定理的詳細證明。

時至今日,初中數學教材的證明勾股定理的方法依舊采用的趙爽弦圖。

首創的“割圓術”與先進的圓周率研究

劉徽“割圓術”示意圖

“割圓術”是一種用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法。這個方法是魏晉時期的數學家劉徽首創的。

“徑自相乘,三之,四而一”,是中國古代算數書所表述的圓的面積計算方法。意為圓的面積就是用圓的直徑的平方,乘以三,再除以四。由于古人并不知道圓周率,用這個方法計算出來的結果往往誤差很大。劉徽不滿足于這個結果,以極限思想為指導,提出用“割圓術”來求圓周率,并求得了3.14這個近似數值。自此之后,“割圓術”在圓周率計算史上被長期使用,作為最早的計算圓周率的方法一直為人們稱道。

劉徽之后約200年,大學者祖沖之進一步將圓內接正多邊形邊數增加到24576,在計算了一萬多遍之后終于得出圓周率在3.1415926至3.1415927之間。他是世界上第一個把圓周率的數值算到小數點以后七位的人,此后約1000年中,這始終都是當時世界上最精確的圓周率數值。歐洲數學家奧托在一千多年以后,才算出了這個數值。

測量太陽高度的重差術

《海島算經》示意圖

古人很早就知道,把角尺直立在物體的水平位置上,對準要測量的物體,使物體的最高點,與角尺兩邊上的兩點連成一線,利用相似直角三角形對應邊成比例的性質,就可以把物體的高度計算出來了。數學家劉徽就系統地總結并舉例解釋了這種方法,撰寫成專門的一卷《重差》,附在古代數學名著《九章算術》之后。因為它的第一題是關于測量海島的高和遠的問題,所以《重差》在后面也被叫做《海島算經》。

古人對于世界的探索思想也是無窮無盡的,那太陽究竟有多高呢?有的天文學家認為天圓地方,于是他們就將這種方法應用到了測量太陽高度上。地球是一望無際的平地,太陽的高度是可以在特定的時間和地點測量計算的。他們用一根八尺長的標桿,選定夏至這一天,在南北相隔一千里的兩個地方分別測量出太陽影子的長度,再根據相似直角三角形對應邊成比例的性質,得出太陽離地面的高度。但是,因為假設地面是平的,不符合實際情況,所以得出錯誤的結果。不過,“重差術”這種數學方法是正確的。

《海島算經》(《重差》)是中國最早的一部測量數學著作,為地圖學提供了數學基礎,標志著中國古代測量數學的偉大成就。

1500年前的“雞兔同籠”問題

“雞兔同籠”問題示意圖

大多數人聽到雞兔同籠就想起被數學支配的恐懼,不過這個問題可是早在1500年前就被提出和記載在《孫子算經》里了,被稱作古代著名的三大趣題之一。

原題是:“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?”意思是:現在有若干只雞和兔子被關在一個籠子里,有35個頭和94只腳。問籠中各有多少只雞和兔。

孫子的解法是:砍去其中一半的腳,那么現在就有47只腳,雞變成了“獨腳雞”,兔變成了“雙腳兔”,每只雞的頭數與腳數之比變為1:1,每只兔的頭數與腳數之比變為1:2。由此可知,有一只“雙腳兔”,腳的數量就會比頭的數目多1。所以,“獨腳雞”和“雙腳兔”的腳的數量與他們的頭的數量之差,就是只數,即兔的數量是:47-35=12(只);雞的數量就是:35-12=23(只)。這一思路新穎而奇特,其“砍足法”也令古今中外數學家贊嘆不已。

看了那么多古代數學成就,不得不稱贊古人的智慧。古代的工具、技術都遠沒有現在發達,祖先們在生活中發現和思考,創造出一個又一個精妙的方法,用不懈的探索精神將中華數學推向一個又一個高峰。

中國古代數學成就不勝枚舉,寥寥幾句只是描摹輪廓。都說“長江后浪拍前浪”,當代年輕人要善于思考,站在巨人的肩膀上繼續努力,因為智慧是不會枯竭的,思想和思想相碰,就會迸發無數火花。

責任編輯:莫穎琳

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